Soient les vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) : \[u=\left(-1,1,1\right),\quad v=\left(1,-1,1\right),\quad w=\left(1,1,-1\right) \quad \textrm{ et} \quad x=\left(2,-3,1\right).\]

  1. Prouver que la famille \(\left(u,v,w\right)\) forme une base \(\mathbb{R}^3\).

  2. Quelles sont les coordonnées de \(x\) dans cette base?


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[ID: 1348] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1010
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13
  1. Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 u + \alpha_2 v+\alpha_3 w=0\). Le triplet \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)\) est solution du système : \(\left\{ \begin{aligned} -\alpha_1&+\alpha_2&+\alpha_3&=0 \cr \alpha_1&-\alpha_2&+\alpha_3&=0 \cr \alpha_1&+\alpha_2&-\alpha_3&=0 \end{aligned}\right.\) et donc \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\). La famille \(\left(u,v,w\right)\) est bien libre. Comme \(\dim \mathbb{R}^3=3\), c’est une base de \(\mathbb{R}^3\).

  2. La famille \(\left(u,v,w\right)\) étant une base de \(E\), il existe \(\left(x_1,x_2,x_3\right)\in\mathbb{R}^3\) tel que : \(x=x_1 u + x_2 v+x_3 w\). Le triplet \(\left(x_1,x_2,x_3\right)\) est donc solution du système \(\left\{ \begin{aligned} -x_1&+x_2&+x_3&=2 \cr x_1&-x_2&+x_3&=-3 \cr x_1&+x_2&-x_3&=1 \end{aligned}\right.\). En le résolvant, on trouve \(x_1=-1\), \(x_2={3}/{2}\) et \(x_3=-{1}/{2}\). Les coordonnées de \(x\) dans la base \(\left(u,v,w\right)\) sont donc : \(\boxed{\left(-1,{3}/{2},-{1}/{2}\right)}\)


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