Soient \(\left(x_1,x_2,x_3\right)\) les coordonnées d’un vecteur \(u\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). Exprimer les coordonnées \(\left(y_1,y_2,y_3\right)\) de ce même vecteur dans la base de \(\mathbb{R}^3\) formée des vecteurs : \[\varepsilon_1=\left(1,1,0\right),\quad \varepsilon_2=\left(1,0,1\right),\quad\varepsilon_3=\left(0,1,1\right).\]


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[ID: 1346] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 638
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13

On vérifie facilement que la famille \(\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Il existe donc des scalaires \(y_1,y_2,y_3\) tels que : \(u=\left(x_1,x_2,x_3\right)=y_1 \varepsilon_1 + y_2 \varepsilon_2 +y_3 \varepsilon_3\). En remplaçant les vecteurs \(\varepsilon_i\) par leurs expressions, on obtient le système : \(\left\{ \begin{aligned} y_1&+y_2&&=x_1 \cr y_1&&+y_3&=x_2 \cr &y_2&+y_3&=x_3 \end{aligned}\right.\) qui amène : \({ y1}=\dfrac{x_2-x_3+x_1}{2}, { y2}=\dfrac{-x_2+x_3+x_1}{2}, { y_3}=\dfrac{ x2+ x3- x1}{2}\)


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