1. Montrer que les vecteurs \(f_1=\left(1,2\right)\), \(f_2=\left(-1,2\right)\) et \(f_3=\left(-3,5\right)\) forme une famille génératrice de \(\mathbb{R}^2\).

  2. Exprimer un vecteur quelconque \(u\) de coordonnées \(\left(x,y\right)\) dans la base canonique comme combinaison linéaire de ces vecteurs. Cette décomposition est-elle unique?


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[ID: 1344] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 207
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13
  1. Les vecteurs \(f_1\) et \(f_2\) ne sont pas colinéaires donc ils forment une famille libre. Comme \(\dim \mathbb{R}^2=2\) la famille \(f=\left(f_1,f_2\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^2\). Elle engendre donc \(\mathbb{R}^2\) et il en est alors de même de la famille \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\).

  2. Introduisons les deux vecteurs de la base canonique de \(\mathbb{R}^2\) : \(e_1=\left(1,0\right)\) et \(e_2=\left(0,1\right)\). D’après ce qui précède, il existe \(a,b,c\in\mathbb{R}\) tels que \(u=x e_1 + y e_2= a f_1 + b f_2+c f_3\). Le triplet \(\left(a,b,c\right)\) est solution du système \(\left\{ \begin{aligned} a&-b&-3c&=&x \cr 2a&+2b&+5c&=&y \end{aligned}\right.\). Ce système admet une infinité de solutions et la décomposition recherchée n’est pas unique. Une d’entre elles est donnée par exemple par \(a=x/2+y/4\), \(b=-x/2+y/4\) et \(c=0\).


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