Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(3\) et \(e = \left({e_1},{e_2},{e_3}\right)\) est une base de \(E\). On pose : \[{f_1}={e_1}+2{e_2}+2{e_3}, \quad {f_2}={e_2}+{e_3}\] Montrer que \(\left({f_1},{f_2}\right)\) est libre et compléter cette famille en une base de \(E\).


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[ID: 1342] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 774
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13

Les vecteurs \({f_1}\) et \({f_2}\) ne sont pas colinéaires. Ils forment une famille libre. On vérifie en procédant comme dans l’exercice précédent que la famille \(\left({e_2},{f_1},{f_2}\right)\) est libre et forme donc une base de \(E\).


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