Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(3\) et \(e= \left({e_1},{e_2},{e_3}\right)\) une base de \(E\). On pose : \[{f_1}={e_2}+2{e_3}, \quad f_2={e_3}-{e_1}, \quad f_3={e_1}+2{e_2}\] Montrer que \(f = \left({f_1},{f_2},{f_3}\right)\) est aussi une base de \(E\)


Barre utilisateur

[ID: 1340] [Date de publication: 15 février 2021 11:12] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 194
Par emmanuel le 15 février 2021 11:12

Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 f_1+\alpha_2 f_2+\alpha_3 f_3=0\). Alors \(\alpha_1 \left({e_2}+2{e_3}\right) +\alpha_2 \left({e_3}-{e_1}\right)+\alpha_3 \left({e_1}+2{e_2}\right)=0\) et \(\left(\alpha_3-\alpha_2\right)e_1+\left(\alpha_1+2\alpha_3\right)e_2+\left(2\alpha_1+\alpha_2\right)e_3=0\). Comme la famille \(e\) est libre, le triplet \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)\) est solution du système \(\left\{ \begin{aligned} &-\alpha_2&+\alpha_3&=0\cr \alpha_1&&+2\alpha_3&=0\cr 2\alpha_1&+\alpha_2&&=0 \end{aligned}\right.\) et on trouve \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\). La famille est donc libre. Comme \(\dim \mathbb{R}^3=\# e\), la famille \(e\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).


Documents à télécharger