Posons \({e_1}=\left(1,1,1\right)\), \({e_2}=\left(1,1,0\right)\), \({e_3}=\left(0,1,1\right)\). Montrer que \(e = \left({e_1},{e_2},{e_3}\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).


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[ID: 1338] [Date de publication: 15 février 2021 11:12] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 265
Par emmanuel le 15 février 2021 11:12

Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3=0\). Alors \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)\) est solution du système \(\left\{ \begin{aligned} \alpha_1&+\alpha_2&&=0\cr \alpha_1&+\alpha_2&+\alpha_3&=0\cr \alpha_1&&+\alpha_3&=0 \end{aligned}\right.\) et on trouve \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\). La famille est donc libre. Comme \(\dim \mathbb{R}^3=\# e\), la famille \(e\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).


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