Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) engendré par les familles de vecteurs \(\left(u_1,u_2,u_3,u_4\right)\) avec :

  1. \(u_1=\left(1,0,0,1\right)\), \(u_2=\left(1,0,1,0\right)\), \(u_3=\left(0,1,0,1\right)\), \(u_4=\left(1,0,0,1\right)\)

  2. \(u_1=\left(1,1,1,0\right)\), \(u_2=\left(1,1,2,0\right)\), \(u_3=\left(0,1,1,1\right)\), \(u_4=\left(0,1,0,1\right)\)

  3. \(u_1=\left(1,-1,1,-1\right)\), \(u_2=\left(1,1,2,-2\right)\), \(u_3=\left(3,-1,4,-4\right)\), \(u_4=\left(0,-2,-1,1\right)\).


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[ID: 1336] [Date de publication: 15 février 2021 11:11] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 405
Par emmanuel le 15 février 2021 11:11
  1. Soient \(\alpha_i\in \mathbb{R}\), \(i=1,2,3,4\) tels que \(\sum_{i=1}^4 \alpha_i u_i=0\). les scalaires \(\alpha_i\) vérifient alors le système : \(\left\{ \begin{aligned} \alpha_1&&&+\alpha_4&=0 \cr \alpha_1&&+\alpha_3&&=0 \cr&\alpha_2&+\alpha_3&&=0 \cr &\alpha_2&&+\alpha_4&=0 \end{aligned}\right.\). On a une solution non nulle : \((1,1,-1,-1)\). La famille est donc liée et engendre un espace de dimension au plus \(3\). On vérifie que \(\left(u_1,u_2,u_3\right)\) est libre. Dans le système précédent on fait \(\alpha_4=0\). On trouve alors \(\alpha_1=0\) puis \(\alpha_3=0\) et \(\alpha_2=0\). Donc la famille \(\left(u_1,u_2,u_3,u_4\right)\) engendre un espace de dimension \(3\).

  2. On vérifie que \(u_4=u_1-u_2+u_3\). On montre de la même façon que précédemment que la famille \(\left(u_1,u_2,u_3\right)\) est libre. Donc \(\dim Vect \left(u_1,u_2,u_3,u_4\right)=3\).

  3. On a : \(u_3=2u_1+u_2\) et \(u_4=u_1-u_2\). Les vecteurs \(u_1\) et \(u_2\) ne sont pas colinéaires et forment donc une famille libre. Par suite \(\dim Vect \left(u_1,u_2,u_3,u_4\right)=\dim Vect\left(u_1,u_2\right)=2\).


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