Vérifier si les vecteurs suivants forment une famille génératrice de \(\mathbb{R}^3\) : \[u_1=\left(0,1,1\right),\quad u_2=\left(1,-1,0\right),\quad u_3=\left(1,0,2\right) \quad \textrm{ et} \quad u_4=\left(1,-1,2\right)\]


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[ID: 1334] [Date de publication: 15 février 2021 11:11] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 743
Par emmanuel le 15 février 2021 11:11

La famille \(\left(u_1,u_2,u_3\right)\) est libre. En effet, si \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R}\) sont tels que \(\alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2+\alpha_3 u_3=0\) alors on a : \(\left\{ \begin{aligned} &\alpha_2&+\alpha_3&=0\cr \alpha_1&-\alpha_2&&=0\cr \alpha_1&&+2\alpha_3&=0 \end{aligned}\right.\) ce qui amène \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\). Comme \(\dim \mathbb{R}^3=3\), cette famille engendre \(\mathbb{R}^3\) et il en est donc de même de la famille \(\left(u_1,u_2,u_3,u_4\right)\)


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