Dans l’espace \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\), on considère les fonctions définies par \(\forall k \in \mathbb{N}^*\), \[f_k: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin(kx) \end{array} \right.\] Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}^*\), la famille \(S = (f_1,\dots, f_n)\) est libre. On calculera d’abord pour \((p, q) \in (\mathbb{N}^*)^{2}\), l’intégrale : \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\pi}\int_0^{2\pi} \sin(px)\, \sin(qx) \mathrm{ \;d}x = \delta_{pq},\]\(\delta_{pq}=1\) si \(p=q\) et est nul sinon.


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[ID: 1331] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 963
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \((p, q) \in \mathbb{N}^{2}\). On utilise la trigonométrie. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[\sin(px)\, \sin(qx) ={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(\cos\left(\left(p-q\right)x\right)-\cos\left(\left(p+q\right)x\right)\right)\] donc si \(p\neq q\), \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\pi}\int_0^{2\pi} \sin(px)\, \sin(qx) \mathrm{ \;d}x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\pi}\left[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle p-q}\sin\left(\left(p-q\right)x\right)-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle p+q}\sin\left(\left(p+q\right)x\right)\right] _0^{2\pi}=0\] et si \(p=q\) alors \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\pi}\int_0^{2\pi} \sin(px)\, \sin(qx) \mathrm{ \;d}x={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\pi}\int_0^{2\pi}\left(1-\cos\left(\left(p+q\right)x\right)\right) \mathrm{ \;d}x= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\pi}\left[x-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle p+q}\sin\left(\left(p+q\right)x\right)\right] _0^{2\pi}=1.\] Montrons que \(S\) est libre. Soient \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{R}\) tels que \(\sum_{i=1}^n \alpha_i f_i=0\). Soit \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\). Par linéarité de l’intégrale, on a : \[0 = \sum_{i=1}^n {\scriptstyle\alpha_i\over\scriptstyle\pi} \int_{0}^{2\pi} f_k\left(x\right)f_i\left(x\right)\mathrm{ \;d}x = \sum_{i=1}^n \alpha_i \delta_{ki} = \alpha_k.\] et ce pour tout \(k\in \llbracket 1,n\rrbracket\). On en déduit que \(S\) est libre.


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