Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \((u_1, \dots, u_n)\) une famille libre. Les familles \[S=(u_1-u_2, u_2-u_3, \dots, u_{n-1}-u_n, u_n-u_1)\] \[T=(u_1+u_2, \dots, u_{n-1}+u_n, u_n+u_1)\] sont-elles libres?


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[ID: 1329] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 79
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

La famille \(S\) est liée car \[(u_1-u_2)+(u_2-u_3)+\dots + (u_{n-1}-u_n) + (u_n-u_1)= 0_E\] Pour la famille \(T\): Soit \((\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{K}^{n}\) tel que \[\lambda_1(u_1+u_2)+\dots +\lambda_n(u_n+u_1)=0_E\] Comme \((u_1,\dots,u_n)\) est libre, il vient que \[\lambda_1+\lambda_n=0_K, \quad\lambda_2+\lambda_1=0_K,\dots, \lambda_{n-1}+\lambda_n=0_K\] Par conséquent, \[\lambda_1=(-1)^{i-1} \lambda_{i}=(-1)^{n}\lambda_1.\] Si \(n\) est impair, \(2\lambda_1=0_K\) et donc \(\lambda_1=0\), puis alors tous les coefficients sont nuls. Si \(n\) est impair, \(T\) est une famille libre.

Si par contre \(n\) est pair, on vérifie que \[\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{i-1}(u_i+u_{i+1}) + (-1)^{n-1}(u_n+u_1)=0_E\] et donc \(T\) est lié.


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