Dans l’espace vectoriel \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\), montrer que la famille \(S = (x\to 1, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}x, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}2x, \dots, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}nx)\) est libre.


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[ID: 1327] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 449
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Au voisinage de \(+\infty\), on a l’équivalent \(\mathop{\mathrm{ch}}n x = \dfrac{e^{nx}+e^{-nx}}{2}=\dfrac{e^{nx}}{2} \left(1+e^{-2nx}\right)\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}\dfrac{e^{nx}}{2}\)
car \(1+e^{-2nx}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}1\). Soient \(\alpha_0\), \(\dots, \alpha_n\in\mathbb{R}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R},\quad \alpha_0 + \alpha_1 \mathop{\mathrm{ch}}x + \dots+\alpha_n\mathop{\mathrm{ch}} nx=0\] alors \[\forall x\in \mathbb{R},\quad \alpha_0e^{-nx} + \alpha_1 \mathop{\mathrm{ch}}\left(x\right) e^{-nx} + \dots+\alpha_n\mathop{\mathrm{ch}}\left(nx\right) e^{-nx}=0 .\] En vertu de l’équivalent, pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket, \mathop{\mathrm{ch}}\left(k x\right)e^{-nx}\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}e^{\left(k-n\right)x}/2\) et \[\mathop{\mathrm{ch}}\left(k x\right) e^{-nx} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\begin{cases}0 &\textrm{ si } k<n \\ 1/2&\textrm{ si } k=n \end{cases}.\] Donc la somme précédente ne tend vers \(0\) que si \(\alpha_n=0\). On répète \(n\) fois ce raisonnement et on montre que \(\alpha_0=\dots=\alpha_n=0\). La famille \(S\) est bien libre.


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