Soit \(f_k(t)=e^{kt}\). Montrer que \(\{ f_1, \dots, f_n\}\) est une famille libre dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\).


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[ID: 1325] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 760
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \((\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{R}^{n}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad\lambda_1e^x+\dots +\lambda_ne^{nx}=0 .\] Alors \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad\lambda_1+\dots +\lambda_ne^{(n-1)x}=0 \xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{}0\] et \(\lambda_1=0\). On recommence avec \[\forall x\in \mathbb{R} , \lambda_2 e^x+\dots+\lambda_{n-1}e^{(n-1)x}=0\] ce qui donne \(\lambda_{2}=0\) et ainsi de suite, on montre que tous les coefficients de la combinaison linéaire sont nuls. La famille est donc libre.


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