Soit \(E=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\). Montrer que c’est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. On considère ensuite l’application \[\varphi_k: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longmapsto & f^{(k)}(0) \end{array} \right. \quad(k\in [1,n])\] Montrer que l’application \(\varphi_k\) est linéaire, puis que la famille \((\varphi_1,\dots,\varphi_n)\) est libre dans l’espace \(L(E,\mathbb{R} )\).

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[ID: 1323] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1013
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 13 février 2021 09:16

On montre que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\). Il est aussi facile de montrer que les applications \(\varphi_k\) sont linéaires. Montrons ensuite que la famille est libre. Soit \((\lambda_1,\dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^{n}\) tels que \[\lambda_1 \varphi_1+\dots + \lambda_n \varphi_n= 0_{L(E,\mathbb{R} )}\] En appliquant cette application linéaire à la fonction \(\theta_k: x\mapsto x^k \in E\), on trouve que \[\lambda_k k! =0\] (car \([x^k]^{(p)}(0)=k!\) si \(p=k\) et \([x^k]^{(p)}(0)=0\) si \(p\neq k\). On en déduit donc que \(\forall k\in [1,n], \lambda_k=0\).

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