Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((a_1,\dots,a_n) \in E^n\) libre. On définit les vecteurs \[b_1=a_1, b_2=a_1+a_2, \dots , b_n=a_1+\dots + a_n\] Montrer que la famille \((b_1,\dots, b_n)\) est libre.


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[ID: 1321] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 940
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \((\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{K}^{n}\) tels que \[\lambda_1b_1+\dots + \lambda_n b_n =0_E\] Alors \[(\lambda_1+\dots+\lambda_n)a_1 + (\lambda_2+\dots+\lambda_n)a_2+\dots + (\lambda_{n-1}+ \lambda_n)a_{n-1} +\lambda_n a_n = 0\] Comme \((a_1,\dots,a_n)\) est libre, on tire que \[\lambda_n =\lambda_n+\lambda_{n-1} =\dots = \lambda_n+\dots+\lambda_1=0_{\mathbb{K} }\] et par conséquent que tous les \(\lambda_k\) sont nuls.


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