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Exercice 927
Les familles de fonctions suivantes sont-elles libres dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) ?
\((f_1, \dots, f_n)\) où \(n \geqslant 2\) et \(\forall k \in [1, n]\), \[f_k :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^{x+k} \end{array} \right.\]
\((f_1, f_2, f_3)\) où \(\forall k \in [1, 3]\), \[f_i : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & (x-k)^2 \end{array} \right.\]
\((f_1, f_2, f_3, f_4)\) où \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f_1(x) = 1\), \(f_2(x) = x\), \(f_3(x) = x^2\) et \(f_4(x) = e^x\).
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[ID: 1317] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 927
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 13 février 2021 09:16
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 13 février 2021 09:16
Puisque \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(e.e^{x+1}-e^{x+2} = 0\), on en déduit que \((e^{x+1},e^{x+2})\) est lié, donc la famille est lié.
Soit \((a,b,c)\in \mathbb{R}^{3}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R} , a(x-1)^2+b(x-2)^2+c(x-3)^2 = 0\] alors puisque ce polynôme est nul, les coefficients de \(x^2,x,1\) du polynôme et de ses dérivées doivent être nuls. On en tire \[a+b+c=a+2b+3c=a+4b+9c=0 \Rightarrow a=b=c=0\] Par conséquent, la famille est libre.
Soient \((a,b,c,d)\in \mathbb{R}^{4}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R} , a+bx+cx^2+de^x=0\] On doit avoir \(\forall x\in \mathbb{R}\), \[d+(a+bx+cx^2)e^{-x} = 0\] et en passant à la limite lorsque \(x\rightarrow +\infty\), on obtient que \(d=0\). En factorisant ensuite par \(x^2\) et en faisant tendre \(x\) vers \(+\infty\), on trouve que \(c=0\). Ensuite de même \(b=0\) et enfin \(a=0\). La famille est libre.
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