Pour tout \(a\in\mathbb{R}\), considérons l’application \[f_a: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left|x-a\right| \end{array} \right. .\] Montrer que la famille \(\left(f_0,f_1,f_2\right)\) est une famille libre dans \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).


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[ID: 1315] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 146
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soient \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\) tels que : \(\sum_{k=0}^2 \alpha_i f_i=0\). On a donc : \(\forall x\in\mathbb{R}, \quad \alpha_0 \left|x\right|+ \alpha_1 \left|x-1\right|+\alpha_2 \left|x-2\right|=0\). En prenant successivement \(x=0,1\) et \(2\) dans cette égalité, on aboutit au système : \(\left\{ \vcenter{\ialign{&$\hfil{}##{}$\crcr &\alpha_1&+2\alpha_2&=0 \cr \alpha_0 &&+\alpha_2&=0 \cr 2\alpha_0 &+\alpha_1&&=0\crcr}} \right.\) dont l’unique solution est \(\left(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2\right)=\left(0,0,0\right)\). La famille \(\left(f_0,f_1,f_2\right)\) est bien libre.

Autre solution : On suppose \(\alpha_0\neq 0\) et on a \(\left|x\right|= -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\alpha_0} \left( \alpha_1 \left|x-1\right|+\alpha_2 \left|x-2\right|\right)\). Or cette égalité est impossible car le membre de droite est dérivable en zéro et le membre de gauche ne l’est pas. Donc \(\alpha_0= 0\). On démontre de même que \(\alpha_1= 0\) et \(\alpha_2= 0\).


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