Soient \(r\), \(\omega\in \mathbb{R}\) tels que \(\omega\neq 0\). Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\), on considère les deux vecteurs \(f_1\) et \(f_2\) définis par : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad f_1\left(x\right)=e^{r x}\sin \omega x \quad \textrm{ et} \quad f_2\left(x\right)=e^{r x} \cos \omega x.\] Démontrer que la famille \(\left(f_1,f_2\right)\) est libre.


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[ID: 1313] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1006
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soient \(\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}\) tels que : \(\mu_1 f_1+\mu_2 f_2=0\). Cette égalité s’écrit aussi : \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \mu_1 e^{r x}\cos \omega x +\mu_2 e^{r x}\sin \omega x=0\). Pour \(x=0\), on obtient : \(\mu_1=0\) et pour \(x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2\omega}\), on a : \(\mu_2 =0\). Le couple \(\left(\mu_1,\mu_2\right)\) est donc nul et la famille \(\left(f_1,f_2\right)\) est bien libre.


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