Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel  \(E=\mathscr F\left(\left[0,2\pi\right],\mathbb{R}\right)\), on considère les quatre fonctions :

\[f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,2\pi\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \cos x \end{array} \right. \quad f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,2\pi\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x\cos x \end{array} \right.\] \[f_3: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,2\pi\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin x \end{array} \right. \quad f_4: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,2\pi\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x\sin x \end{array} \right.\]

Prouver que la famille \(\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\) est libre.


Barre utilisateur

[ID: 1311] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 967
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right)\in\mathbb{R}^4\) tel que \(\alpha_1 \cdot f_1 + \alpha_2 \cdot f_2 + \alpha_3 \cdot f_3 + \alpha_4 \cdot f_4=0\). On a donc : \[\forall x\in \left[0,2\pi\right],\quad \alpha_1 \cdot f_1\left(x\right) + \alpha_2 \cdot f_2\left(x\right) + \alpha_3 \cdot f_3\left(x\right) + \alpha_4 \cdot f_4\left(x\right)=0,\] en particulier, remplaçant \(x\) par \(x=0\) puis \(x=\pi\), on obtient le système \(\begin{cases}\alpha_1=0\\\alpha_1+\alpha_2\pi=0\end{cases}\) puis remplaçant \(x\) par \(x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\) puis \(x={\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 2}\), on obtient le système \(\begin{cases}\alpha_3+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\alpha_4=0\\\alpha_3+{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 2} \alpha_4=0\end{cases}\) d’où \(\forall i\in\llbracket 1,4\rrbracket,\quad \alpha_i=0\).


Documents à télécharger