Prouver que la famille \(\left(\sin,\cos\right)\) est libre dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).


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[ID: 1309] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 416
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soient \(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha \sin + \beta \cos =0\). On a donc : \(\forall x\in \mathbb{R},\quad \alpha \sin x+ \beta \cos x=0\). En particulier, si \(x=0\), on obtient : \(\beta=0\) et si \(x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\), on obtient \(\alpha=0\). Il vient alors que \(\alpha=\beta=0\). La famille \(\left(\sin,\cos\right)\) est donc libre et elle engendre un sous-espace vectoriel de dimension \(2\) dans \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\), c’est-à-dire un plan vectoriel.


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