Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  et soient \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) des vecteurs de \(E\) tels que la famille \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) est libre. Posons : \(f_1=e_1-e_2\), \(f_2=e_2+e_3\), \(f_3=e_1-e_3\). Montrer que la famille \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) est libre.


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[ID: 1307] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice None
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{K}\) tel que \(\sum_{i=1}^3 \alpha_i f_i=0\). On a alors : \(\alpha_1\left(e_1-e_2\right)+\alpha_2\left(e_2+e_3\right)+\alpha_3\left(e_1-e_3\right)=0\) ce qui s’écrit aussi : \(\left(\alpha_1+\alpha_3\right)e_1+\left(-\alpha_1+\alpha_2\right)e_2+\left(\alpha_2-\alpha_3\right)e_3=0\). La famille \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) étant libre, cette égalité n’est possible que si \[\left\{ \vcenter{\ialign{&$\hfil{}##{}$\crcr \alpha_1&+&\alpha_3 &= 0 \cr -\alpha_1&+\alpha_2& &= 0 \cr &\alpha_2&-\alpha_3 &=0\crcr}} \right.\]

L’unique solution de ce système est le triplet \(\left(0,0,0\right)\). La famille \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) est donc libre.


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