Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Pour \(u \in L(E)\), on définit \[{u}^{\mathrm{T}}: \left\{ \begin{array}{ccl} E^{\star} & \longrightarrow & E^{\star} \\ \varphi & \longmapsto & \varphi\circ u \end{array} \right.\]

  1. Montrer que \({u}^{\mathrm{T}} \in L(E^{\star})\).

  2. Si \((u, v) \in L(E)^2\), calculer \({(u\circ v)}^{\mathrm{T}}\).

  3. Montrer que l’application \[\theta : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathrm{GL}_{ }(E) & \longrightarrow & \mathrm{GL}_{ }(E^{\star}) \\ u & \longmapsto & {u^{-1}}^{\mathrm{T}} \end{array} \right.\] est un morphisme de groupes.

  4. Lorsque \(E = \mathbb{R}^{2}\), montrer que \(\theta\) est injectif.

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[ID: 1297] [Date de publication: 12 février 2021 17:02] [Catégorie(s): Formes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 704
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 17:02

  1. Soit \(\varphi,\psi\in L\left(E\right)\) et \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\). Alors \({u}^{\mathrm{T}}\left(\alpha \varphi+\beta\psi\right)=\left(\alpha \varphi+\beta\psi\right)\circ u=\alpha \varphi\circ u+\beta\psi\circ u=\alpha {u}^{\mathrm{T}}(\varphi)+\beta {u}^{\mathrm{T}}(\psi)\). Donc \({u}^{\mathrm{T}}\in L(E^{\star})\).

  2. Soit \(\varphi\in E^{\star}\). Calculons \[{v}^{\mathrm{T}}\circ {u}^{\mathrm{T}}(\varphi) = {v}^{\mathrm{T}}(\varphi\circ u) = \varphi\circ (u\circ v) = {(u\circ v)}^{\mathrm{T}}(\varphi)\] Par conséquent, \({(u\circ v)}^{\mathrm{T}} = {v}^{\mathrm{T}}\circ {u}^{\mathrm{T}}\).

  3. \(\theta\) est bien définie. Soit \(f\in \mathrm{GL}_{ }(E)\). Comme \(f\) est inversible, il existe \(f^{-1} \in L(E)\) vérifiant \(f\circ f^{-1} = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Mais en transposant, \({f^{-1}}^{\mathrm{T}}\circ {f}^{\mathrm{T}} = {\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E}^{\mathrm{T}} = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{E^{\star}}\). On montre de même que \({f}^{\mathrm{T}} \circ {f^{-1}}^{\mathrm{T}} = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{E^{\star}}\). Ce qui montre que \({f^{-1}}^{\mathrm{T}}\) est inversible dans \(L(E^{\star})\). On vérifie sans problème que \(\theta\) est un morphisme de groupes en utilisant 2.

  4. Soit \(f \in \operatorname{Ker}\theta\). Alors \(\forall \varphi\in E^{\star}\), \({f^{-1}}^{\mathrm{T}}(\varphi) = \varphi\) et donc \[\forall \varphi\in E^{\star},~\varphi\circ f^{-1} = \varphi\] En considérant \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) les deux projections sur \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_1)\) et \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_2)\), on montre que \(f = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\).

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