Soit \(E\) l’ensemble des fonctions dérivables sur \([0,1]\) et \(\delta :\mbox{$\left\{ \begin{array}{lcl} E & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longrightarrow & f'(0) \end{array} \right. $}\).

  1. Montrer que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

  2. On pose \(H=\operatorname{Ker}\delta\). Trouver un supplémentaire de \(H\) dans \(E\).


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[ID: 1295] [Date de publication: 12 février 2021 17:02] [Catégorie(s): Formes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 796
Par emmanuel le 12 février 2021 17:02
  1. On montre facilement que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel en prouvant que c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right)\).

  2. Montrons que l’ensemble des fonctions affines sur \(\left[0,1\right]\), noté \(I\), est un supplémentaire de \(H\) dans \(E\). Soit \(f\in E\). Alors \(f=\left(f-f'\left(0\right)x\right)+f'\left(0\right)x\). Il est clair que \(x\mapsto f-f'\left(0\right)x\in H\) et que \(x\mapsto f'\left(0\right)x\in I\). Donc \(E=H+I\). Si \(f\in H\cap I\) alors \(f'\left(0\right)=0\) et il existe \(a\in \mathbb{R}\) tel que \(f:x\mapsto ax\). Alors \(a=0\) et \(f=0\). Donc \(H\) et \(I\) sont en somme directe. En conclusion, \(E=H\oplus I\).


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