Soient \(E\) un espace vectoriel et \(a\) un vecteur de \(E\). Soit \(\varphi\) une forme linéaire sur \(E\). On définit \(u(x)=x+\varphi(x)a\). Vérifier que \(u\) est un endomorphisme de \(E\), puis calculer \(u^2\). A quelle condition \(u\) est-elle injective?


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[ID: 1293] [Date de publication: 12 février 2021 17:02] [Catégorie(s): Formes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 627
Par emmanuel le 12 février 2021 17:02

Soient \(\alpha,\alpha'\in\mathbb{K}\) et \(x,x'\in E\). Par linéarité de \(\varphi\) \[u\left(\alpha x + \alpha' x'\right)= \alpha x + \alpha' x' + \varphi\left(\alpha x + \alpha' x'\right)a=\alpha\left(x+\varphi(x)a\right)+\alpha'\left(x'+\varphi(x')a\right)=\alpha u\left(x\right)+\alpha' u\left(x'\right)\] donc \(u\) est linéaire.

Soit \(x\in E\). \[u^2\left(x\right)=u\left(x+\varphi(x)a\right) =u\left(x\right)+\varphi(x)u\left(a\right)=x+\varphi(x)a+\varphi\left(x\right)\left(a+\varphi\left(a\right)a\right)=x+\left(2+\varphi\left(a\right)\right) \varphi\left( x \right) a\]

L’application \(u\) est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul de \(E\). Mais \(u\left(x\right)=0\Longleftrightarrow x+ \varphi\left( x \right) a =0 \Longleftrightarrow x=-\varphi\left(x\right)a\). Donc un vecteur \(x\) est élément du noyau de \(u\) si et seulement si il existe \(\alpha\in\mathbb{K}\) tel que \(x=\alpha a\) et \(\varphi\left(x\right)=-\alpha\). On a alors \(\alpha a = -\alpha \varphi\left(a\right)a\) ce qui s’écrit aussi \(\alpha\left(1-\varphi\left(a\right)\right)a=0\). Pour que le noyau de \(u\) ne soit pas trivial, il faut donc que \(\varphi\left(a\right)=-1\), dans quel cas, \(u\) n’est pas injective. Sinon, si \(\varphi\left(a\right)\neq -1\), \(\varphi\) est injective.


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