Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f,g\in E^{*}\) deux formes linéaires telles que \(\forall x\in E\), \(f(x)g(x)=0_K\). Montrer que \(f=0\) ou \(g=0\).


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[ID: 1291] [Date de publication: 12 février 2021 17:02] [Catégorie(s): Formes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 984
Par emmanuel le 12 février 2021 17:02

Si il existe \(a\in E\) tel que \(f(a)\neq 0\) et \(b\in E\) tel que \(g(b)\neq 0\), alors \[0=f(a+b)g(a+b)=f\left(a\right)g\left(a\right)+f\left(a\right)g\left(b\right)+f\left(b\right)g\left(a\right)+f\left(b\right)g\left(b\right)= f\left(a\right)g\left(b\right)+f\left(b\right)g\left(a\right).\] Donc \(f\left(a\right)g\left(b\right)=-f\left(b\right)g\left(a\right)\) et comme \(f(a)\neq 0\) , \(g(b)\neq 0\), nécessairement \(f\left(b\right) \neq 0\) et \(g\left(a\right)\neq 0\). Il vient alors que \(f\left(a\right)g\left(a\right)\neq 0\) ce qui est contraire à notre hypothèse de départ. Donc \(f=0\) ou \(g=0\).


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