Soient deux projecteurs \(p\) et \(q\) d’un espace vectoriel \(E\). Montrer que l’endomorphisme \((p+q)\) est un projecteur de \(E\) si et seulement si l’on a \(p\circ q = q\circ p =0\). Si c’est le cas, montrer qu’alors \(\mathop{\mathrm{Im}}(p+q)=\mathop{\mathrm{Im}}p\oplus \mathop{\mathrm{Im}}q\) et que \(\operatorname{Ker}(p+q)= \operatorname{Ker}p \cap \operatorname{Ker}q\).


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[ID: 1289] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 159
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59
  • On suppose que \(p+q\) est un projecteur. Alors \(\left(p+q\right)^2=p+q\) et en développant, on obtient \(p^2+q^2+p\circ q+q\circ p=p+q\). \(p\), \(q\) étant des projecteurs, on a : \(p^2=p\) et \(q^2=q\) et donc \(p\circ q+q\circ p=0\). On va montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}q\subset \operatorname{Ker}p\) ce qui amènera \(p\circ q=0\) et donc \(q\circ p=0\). Soit \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}q\). Alors \(p\left(y\right)+q\left(p\left(y\right)\right)=0\). Comme \(E=\operatorname{Ker}q\oplus \mathop{\mathrm{Im}} q\), il existe \(X\in \operatorname{Ker}q\) et \(Y\in Im q\) tel que \(p\left(y\right)=X+Y\). Alors \(X+Y+q\left(X+Y\right)=0\) soit \(X+2Y=0\). Par unicité de la décomposition d’un vecteur sur une somme directe, il vient \(X=Y=0\) et donc \(p\left(y\right)=0\). On a prouvé que \(\mathop{\mathrm{Im}} q\subset \operatorname{Ker}q\) et la première implication est démontrée.

  • Pour la seconde, supposons que \(p\circ q = q\circ p =0\) alors \(\left(p+q\right)^2=p^2+q^2+p\circ q+q\circ p=p+q\) car \(p\) et \(q\) sont des projecteurs.

  • On suppose dans la suite que \((p+q)\) est un projecteur de \(E\).

    • Montrons que \(\mathop{\mathrm{Im}}(p+q)=\mathop{\mathrm{Im}}p\oplus \mathop{\mathrm{Im}}q\). Soit \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}p \cap \mathop{\mathrm{Im}}q\). Alors \(p\left(x\right)=q\left(x\right)=x\) et il vient \(q\left(p\left(x\right)\right)=x\). Mais \(q\circ p=0\) donc \(x= 0\). Donc \(\mathop{\mathrm{Im}}p\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}q\) sont en somme directe. Si \(x\in \mathop{\rm Im}p+q\) alors \(x=\left(p+q\right)\left(x\right)=p\left(x\right)+q\left(x\right)\in\mathop{\mathrm{Im}}p+\mathop{\mathrm{Im}}q\) et \(\mathop{\rm Im}p+q \subset \mathop{\mathrm{Im}}p +\mathop{\mathrm{Im}}q\). Si \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}p +\mathop{\mathrm{Im}}q\) alors il existe \(x_1\in \mathop{\mathrm{Im}}p\) et \(x_2\in \mathop{\mathrm{Im}}q\) tel que \(x=x_1+x_2\). Mais \(\left(p+q\right)\left(x\right)=p\left(x_1\right)+p\left(x_2\right)+q\left(x_1\right)+q\left(x_2\right)=x_1+x_2\) car \(\mathop{\mathrm{Im}} q\subset \operatorname{Ker}p\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}p \subset \operatorname{Ker}q\) en vertu de \(p\circ q = q\circ p =0\). Donc \(x\in \mathop{\rm Im}p+q\) et on prouve ainsi par double inclusion que \(\mathop{\mathrm{Im}}(p+q)=\mathop{\mathrm{Im}}p\oplus \mathop{\mathrm{Im}}q\).

    • Montrons maintenant que \(\operatorname{Ker}(p+q)= \operatorname{Ker}p \cap \operatorname{Ker}q\). On montre facilement que \(\operatorname{Ker}p \cap \operatorname{Ker}q\subset \operatorname{Ker}(p+q)\). Soit \(x\in \operatorname{Ker}(p+q)\). Alors \(p(x)+q(x)=0\) et \(p(x)=-q(x)\). Posons \(y=p(x)\). On sait alors que \(y\in\mathop{\mathrm{Im}}p\) et que \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}q\). Mais \(\mathop{\mathrm{Im}}p\subset \operatorname{Ker}q\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}q \subset \operatorname{Ker}p\) donc \(y\in \operatorname{Ker}q\) et \(y\in \operatorname{Ker}p\). Comme \(E=\operatorname{Ker}p\oplus \mathop{\mathrm{Im}}p\) et \(E=\operatorname{Ker}q\oplus \mathop{\mathrm{Im}}q\), ceci n’est possible que si \(y=0\). Donc \(x\in\operatorname{Ker}p\cap \operatorname{Ker}q\) et l’égalité est prouvée par double inclusion.


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