[Décomposition du noyau] Soient un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) et un endomorphisme \(f \in L(E)\) vérifiant \(f^2 = -\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). On note \[F = \{ x \in E \mid f(x) = ix \} \textrm{ et } G = \{x \in E \mid f(x) = -ix \}\] Montrer que \(E = F \oplus G\) et exprimer le projecteur sur \(F\) parallèlement à \(G\).


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[ID: 1287] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 663
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59

Pour tout \(x\in E\), on a \(x=-{\scriptstyle i\over\scriptstyle 2}\left(f\left(x\right)+ix\right)+{\scriptstyle i\over\scriptstyle 2}\left(f\left(x\right)-ix\right)\) et on vérifie que \(f\left(x\right)+ix\in F\), \(f\left(x\right)-ix \in G\). En effet : \[f\left(f\left(x\right)+ix\right) =f^2\left(x\right)+if\left(x\right)=-i{x}+if\left(x\right)=i\left(f\left(x\right)+ix\right)\] \[f\left(f\left(x\right)-ix\right) =f^2\left(x\right)-if\left(x\right)=-if\left(x\right)-if\left(x\right)=-i\left(f\left(x\right)-ix\right)\] Donc \(E=F+G\). Si \(x\in F \cap G\) alors on a en même temps \(f\left(x\right)=ix\) et \(f \left(x\right)=-ix\) ce qui n’est possible que si \(x=0\). Donc \(F\) et \(G\) sont en somme directe. En conclusion, \(E=F\oplus G\).

Montrons que \(p=-{\scriptstyle i\over\scriptstyle 2}\left(f+i\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\right)\) est le projecteur sur \(F\) parallèlement à \(G\). Soit \(x=x_1+x_2\in F\oplus G\). Alors \(p\left(x\right)=-{\scriptstyle i\over\scriptstyle 2}\left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+i\left(x_1+x_2\right)\right)=-{\scriptstyle i\over\scriptstyle 2}\left(i x_1 - i x_2 + i x_1 + i x_2\right)= x_1\), ce qu’il fallait montrer.

Cet exercice est un cas particulier du théorème de décomposition du noyau que vous verrez en deuxième année.


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