Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(u\in L(E)\). Soit \(p\) un projecteur de \(E\).

Montrer que \(u\) et \(p\) commutent si et seulement si \(\mathop{\mathrm{Im}}p\) et \(\operatorname{Ker}p\) sont stables par \(u\).


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[ID: 1285] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 591
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59
  • Supposons que \(u\) et \(p\) commutent. Soit \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}p\). Mais \(p\left(u\left(y\right)\right)=u\left(p\left(y\right)\right)=u\left(y\right)\) car \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}p\). Donc \(u\left(y\right)\in \mathop{\mathrm{Im}}p\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}p\) est stable par \(u\). Si \(x\in\operatorname{Ker}p\) alors \(p\left(u\left(x\right)\right)=u\left(p\left(x\right)\right)=0\) donc \(u\left(x\right)\in\operatorname{Ker}p\) et \(\operatorname{Ker}p\) est aussi stable par \(u\).

  • On suppose \(\mathop{\mathrm{Im}}p\) et \(\operatorname{Ker}p\) sont stables par \(u\). Comme \(p\) est un projecteur, \(E=\operatorname{Ker}p\oplus \mathop{\mathrm{Im}}p\). Soit \(x\in E\). Il existe un unique couple \(\left(x',x''\right)\in\operatorname{Ker}p\times \mathop{\mathrm{Im}}p\) tel que \(x=x'+x''\). Il vient que \(u\circ p\left(x\right)=u\left(x''\right)\) et que \(p\circ u\left(x\right)=p\left(u\left(x''\right)\right)=u\left(x''\right)\). On a montré que \(u\circ p\left(x\right)=p\circ u \left(x\right)\) donc \(u\) et \(v\) commutent.


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