Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(p\) un projecteur de \(E\). Calculer \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits + p)^n\)\(n\in\mathbb{N}\).


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[ID: 1283] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 887
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59

Comme \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et \(p\) commutent, on peut appliquer la formule du binôme et \[\begin{aligned} (\mathop{\mathrm{id}}\nolimits + p)^n&=&\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} p^{k} = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits+ \left(\sum_{k=1}^n \dbinom{n}{k}\right) p = \boxed{\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+\left(2^{n}-1\right) p}\end{aligned}\] car \(p^2=p\).


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