Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(p\) un projecteur de \(E\). Résoudre l’équation \(p(x)+3x=y\)\(y \in E\).


Barre utilisateur

[ID: 1281] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 730
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59

Comme \(p\) est un projecteur, les sous-espaces \(\operatorname{Ker}p\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}p\) sont supplémentaires dans \(E\). Donc il existe un unique couple \(\left(x',x''\right)\in\operatorname{Ker} p\times \mathop{\mathrm{Im}}p\) tel que \(x=x'+x''\) et il existe un unique couple \(\left(y',y''\right)\in\operatorname{Ker} p\times \mathop{\mathrm{Im}}p\) tel que \(y=y'+y''\). Il vient : \[p(x)+3x=y \Longleftrightarrow x''+3x'+3x''=y'+y'' \Longleftrightarrow\underbrace{3x'}_{\in\operatorname{Ker}p} + \underbrace{4x''}_{\in \mathop{\mathrm{Im}}p} =\underbrace{ y'}_{\in \operatorname{Ker}p}+\underbrace{y''} _{\in \mathop{\mathrm{Im}}p}\Longleftrightarrow\begin{cases}3 x'&=y' \\4x''&=y'' \end{cases}\Longleftrightarrow x= {\scriptstyle y'\over\scriptstyle 3}+{\scriptstyle y''\over\scriptstyle 4}\] par unicité de la décomposition des vecteurs dans \(E=\operatorname{Ker}p \oplus \mathop{\mathrm{Im}}p\). En conclusion, \(\boxed{x=\dfrac{y-p\left(y\right)}{3}+\dfrac{p\left(y\right)}{4}}\).


Documents à télécharger