Soient un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux projecteurs \(p, q\) de \(E\) vérifiant \(poq=0\). On pose \(r=p+q-qop\).

  1. Montrer que \(r\) est un projecteur ;

  2. Montrer que \(\operatorname{Ker}r=\operatorname{Ker}p\cap \operatorname{Ker}q\) ;

  3. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}r=\mathop{\mathrm{Im}}p\oplus \mathop{\mathrm{Im}}q\).

( ).
Interpréter la relation \(p\circ q=0\) en fonction des images et noyaux de \(p,q\). Dans les démonstrations, on pourra utiliser le fait que si \(r\) est un projecteur, et \(x\in E\), \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}r \Longleftrightarrow r(x)=x\).

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[ID: 1279] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 800
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59
  1. Calculons \[r^2=p^2+pq-pqp+qp+q^2-q^2p-qp^2-qpq+qpqp = p+qp+q-qp-qp = p+q-qp=r\] (on a utilisé que \(p^2=p\), \(q^2=q\) et \(pq=0\)). Donc \(r\) est un projecteur (\(r\) est linéaire).

  2. \(\operatorname{Ker}r \subset \operatorname{Ker}p \cap \operatorname{Ker}q\) : soit \(x\in \operatorname{Ker} r\), alors \(p(x)+q(x)-qp(x)=0\), et en appliquant \(p\), on trouve que \(p^2(x)+pq(x)-pqp(x)=0\), d’où \(p(x)=0\), c’est-à-dire \(x\in \operatorname{Ker}p\). De même, en appliquant \(q\), on montre que \(x\in \operatorname{Ker}q\).

    \(\operatorname{Ker}p\cap \operatorname{Ker}q \subset \operatorname{Ker}r\), c’est évident.

  3. \(\mathop{\mathrm{Im}}p \cap \mathop{\mathrm{Im}}q = \{0\}\) : soit \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}p \cap \mathop{\mathrm{Im}}q\), alors \(pq(x)=0 \Rightarrow p(x)=0\) (car \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}q\)) et alors \(x=0\) ( \(p(x)=x\), car \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}p\)). La somme est donc directe.

    \(\mathop{\mathrm{Im}}r \subset \mathop{\mathrm{Im}}p + \mathop{\mathrm{Im}}q\) : soit \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}r\), puisque \(r\) est un projecteur, \(r(x)=x\) et donc \[x= p(x)+q(x)-qp(x)=p(x) + q\bigl[ x-p(x)\bigr]\] et \(p(x)\in \mathop{\mathrm{Im}}p\), \(q\bigl(x-p(x)\bigr)\in \mathop{\mathrm{Im}}q\).

    \(\mathop{\mathrm{Im}}p + \mathop{\mathrm{Im}}q \subset \mathop{\mathrm{Im}}r\) : soit \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}p + \mathop{\mathrm{Im}}q\), \(\exists x_1\in \mathop{\mathrm{Im}}p, \exists x_2\in \mathop{\mathrm{Im}}q\) tels que \(x=x_1+x_2\). Alors, \(r(x)=p(x_1)+p(x_2)+q(x_1)+q(x_2)-qp(x_1)-qp(x_2)= x_1 + x_2 + p(x_2)+q(x_1)-qp(x_1)-qp(x_2)\). Mais \(p\circ q= 0 \Rightarrow \mathop{\mathrm{Im}} q \subset \operatorname{Ker}p\), donc \(p(x_2)=0\). Alors \(r(x)=x+ q\bigl(x_1-p(x_1)\bigr)\), mais puisque \(x_1\in \mathop{\mathrm{Im}}p\), on sait que \(p(x_1)=x_1\), et donc \(r(x)=x\). Comme \(r\) est un projecteur, \(r(x)=x \Rightarrow x\in \mathop{\mathrm{Im}}r\).


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