Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux projecteurs \(p\), \(q\) de \(E\) vérifiant : \[p\circ q = q\circ p\]

  1. Montrer que \(p\circ q\) est un projecteur :

  2. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}(p\circ q) = \mathop{\mathrm{Im}}p \cap \mathop{\mathrm{Im}}q\) ;

  3. Montrer que \(\operatorname{Ker}(p\circ q) = \operatorname{Ker}p + \operatorname{Ker}q\).


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[ID: 1277] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 89
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59
  1. Calculons \[(p\circ q)^2 = p\circ q \circ p \circ q = p\circ p \circ q\circ q = p^2\circ q^2 =p\circ q\] Donc \(p\circ q\) est un projecteur.

  2. \(\mathop{\mathrm{Im}}(p\circ q) \subset \mathop{\mathrm{Im}}p \cap \mathop{\mathrm{Im}}q\) : soit \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}(p\circ q)\). \(\exists x\in E\) tel que \(y=p\circ q(x)\). Comme \(y=p\bigl(q(x)\bigr)\), \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}p\). Mais puisque \(p\circ q=q\circ p\), on a également \(y=q\bigl(p(x)\bigr)\in \mathop{\mathrm{Im}}q\). Donc \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}p\cap \mathop{\mathrm{Im}}q\).

    \(\mathop{\mathrm{Im}}p \cap \mathop{\mathrm{Im}}q \subset \mathop{\mathrm{Im}}(p\circ q)\). Utilisons la caractérisation de l’image d’un projecteur: Soit \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}p \cap \mathop{\mathrm{Im}}q\). Alors \(p(x)=q(x)=x\). Alors \(p\circ q(x)=p\bigl(q(x)\bigr)=p(x)=x\) et par conséquent, \(x\in \mathop{\mathrm{Im}} p\circ q\).

  3. Montrons \(\operatorname{Ker}p + \operatorname{Ker}q \subset \operatorname{Ker}(p\circ q)\): Soit \(x\in \operatorname{Ker}p + \operatorname{Ker}q\); \(\exists (x_p,x_q)\in \operatorname{Ker}p \times \operatorname{Ker} q\) tels que \[x= x_p + x_q\] Alors \[p\circ q(x)=p\bigl(q(x_p)+q(x_q)\bigr)=p\bigl(q(x_p)\bigr) =q\bigl(p(x_p)\bigr)=q(0)=0\] donc \(x\in \operatorname{Ker}(p\circ q)\).

    Montrons que \(\operatorname{Ker}(p\circ q) \subset \operatorname{Ker}p + \operatorname{Ker}q\). Soit \(x\in \operatorname{Ker}(p\circ q)\). Posons \(x_p=q(x)\) et \(x_q=x-q(x)\). On a bien \(x=x_p+x_q\) et \[p(x_p)=p\circ q(x)=0 \Rightarrow x_p\in \operatorname{Ker}p\] \[q\bigl(x-q(x)\bigr)=q(x)-q^2(x)=q(x)-q(x)=0 \Rightarrow x_q \in \operatorname{Ker}q\]


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