Soit un projecteur \(p\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que \[\forall \lambda \in K\setminus \{ 0,1\},\quad p-\lambda \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\in {\rm GL}(E)\]
( ).
On fera deux démonstrations. Pour la première, utiliser la relation polynomiale \(p\circ p=p\). Pour la deuxième, écrire que \(E=\operatorname{Ker}p \oplus \mathop{\mathrm{Im}}p\), et résoudre l’équation \((p-\lambda \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)(x)=y\), en décomposant sur \(\operatorname{Ker}p\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}p\) les vecteurs \(x\) et \(y\).

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[ID: 1275] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 443
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59

Première démonstration. On a \(p\circ p= p\), donc \(p^2-p=0\), et alors \((p-\lambda \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\circ(p+(\lambda-1)\mathop{\mathrm{id}}\nolimits) +\lambda (\lambda-1)\mathop{\mathrm{id}}\nolimits=0\) donc si \(\lambda \not\in \{0,1\}\), on peut écrire \[(p-\lambda \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\circ \Bigl[ \dfrac{-1}{\lambda(\lambda-1)} \bigl(p+(\lambda-1)\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\bigr)\Bigr]=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\] ce qui montre que \((p-\lambda \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) est inversible.

Deuxième démonstration. Soit \(y\in E\). On décompose \(y=y_1+y_2\) avec \(y_1\in \operatorname{Ker}p\) et \(y_2\in \mathop{\mathrm{Im}}p\). Soit \(x=x_1+x_2 \in E\). Alors \((p-\lambda \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)(x)=y\) \(\Longleftrightarrow\) \(x_2-\lambda(x_1+x_2)=y_1+y_2\) \(\Longleftrightarrow\) \(-\lambda x_1 = y_1\) et \((1-\lambda) x_2=y_2\) (on a utilisé le fait que la somme est directe et donc que la décomposition est unique). On trouve une unique solution \(x_1=-\dfrac{1}{\lambda}y_1\) et \(x_2=\dfrac{1}{1-\lambda}y_2\), c’est-à-dire qu’il existe un unique antécédant à \(y\) par l’application \((p-\lambda\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\). Cette application est donc bijective.


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