Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(p,q\in \mathfrak{L}\left(E\right)\). Montrer l’équivalence entre  :

  1. \(p\circ q = p\) et \(q\circ p = q\).

  2. \(p\) et \(q\) sont des projecteurs et \(\operatorname{Ker}p = \operatorname{Ker}q\).


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[ID: 1273] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 448
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59
  • Comme \[p^2=p\circ \underbrace{q\circ p}_{=q} \circ q =p\circ q\circ q=p\circ q=p,\] \(p\) est un projecteur. On montre de même que \(q\) est un projecteur. Si \(x\in\operatorname{Ker}p\) alors \(q\left(x\right)=q\circ p\left(x\right)=0\) donc \(x\in \operatorname{Ker}q\) et \(\operatorname{Ker} p\subset \operatorname{Ker}q\). On montre de même que \(\operatorname{Ker}q\subset \operatorname{Ker}p\). Donc \(\operatorname{Ker} p=\operatorname{Ker}q\).

  • Comme \(q\) est un projecteur, \(\operatorname{Ker}p\) et \(\mathop{\mathrm{Im}} p\) sont supplémentaires dans \(E\) . Soit \(x\in E\). Il existe un unique couple \(\left(x',x''\right)\in\operatorname{Ker}q \times \mathop{\mathrm{Im}}q\) tel que \(x=x'+x''\). Alors \[p\circ q\left(x\right)=p \circ q \left(x''\right)=p\left(x''\right) \quad \textrm{ et} \quad p\left(x\right)=p\left(x'+x''\right)=p\left(x''\right)\] car \(\operatorname{Ker}p=\operatorname{Ker}q\) et que \(q\left(x''\right)=x''\). Donc \(p\circ q \left(x\right)=p\left(x\right)\) et \(p\circ q=p\). On montre de même que \(q\circ p=q\).


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