Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(p\in \mathfrak{L}\left(E\right)\).

  1. Montrer que \(p\) est un projecteur si et seulement si \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-p\) l’est.

  2. On suppose que \(p\) est un projecteur. Exprimer alors \(\mathop{\mathrm{Im}}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-p\right)\) et \(\operatorname{Ker}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-p\right)\) en fonction de \(\mathop{\mathrm{Im}}p\) et \(\operatorname{Ker}p\).


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[ID: 1271] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 504
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59
  1. Comme \(\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)^2=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- 2p + p^2\), \(p\) est un projecteur si et seulement si \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-p\) est un projecteur.

  2. On a \(\operatorname{Ker}p = \mathop{\mathrm{Im}}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\). En effet, si \(x\in \operatorname{Ker}p\) alors \(p\left(x\right)=0\) et \(\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\left(x\right) = x\). Donc \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\). Réciproquement, si \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\) alors il existe \(x_0\) tel que \(x= \left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\left(x_0\right)\) Donc \(p\left(x\right)= p\left(x_0\right)-p^2\left(x_0\right)=0\).


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