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[ID: 1271] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 504
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 16:59

1. Comme \(\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)^2=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- 2p + p^2\), \(p\) est un projecteur si et seulement si \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-p\) est un projecteur.

2. On a \(\operatorname{Ker}p = \mathop{\mathrm{Im}}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\). En effet, si \(x\in \operatorname{Ker}p\) alors \(p\left(x\right)=0\) et \(\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\left(x\right) = x\). Donc \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\). Réciproquement, si \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\) alors il existe \(x_0\) tel que \(x= \left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- p\right)\left(x_0\right)\) Donc \(p\left(x\right)= p\left(x_0\right)-p^2\left(x_0\right)=0\).