Soit : \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}\left[X\right] \\ P & \longmapsto & \theta\left(P\right) \end{array} \right.\]\(\theta\left(P\right)\) est le polynôme donné par : \[\left(\theta\left(P\right)\right)\left(X\right)={\scriptstyle P\left(X\right)+P\left(-X\right)\over\scriptstyle 2}.\]

  1. Prouver que \(\theta\) est linéaire.

  2. Prouver que l’ensemble des polynômes pairs est stable par \(\theta\).

  3. Montrer que \(\theta\circ \theta = \theta\). Que peut-on en déduire pour \(\theta\).

  4. Déterminer \(\operatorname{Ker}\theta\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}\theta\). En déduire les éléments caractéristiques de \(\theta\).


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[ID: 1269] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 753
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59
  1. Facile.

  2. On montre aussi facilement que si \(P\) est pair, il en est de même de \(\theta\left(P\right)\).

  3. Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels, on a : \[\theta \circ \theta \left(P\right)\left(X\right) = \theta\left( {\scriptstyle P\left(X\right)+P\left(-X\right)\over\scriptstyle 2}\right) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left({\scriptstyle P\left(X\right)+P\left(-X\right)\over\scriptstyle 2} + {\scriptstyle P\left(-X\right)+P\left(X\right)\over\scriptstyle 2}\right) = \theta\left(P\right)\left(X\right)\] donc \(\theta\) est un projecteur.

  4. Si \(\theta\left(P\right) = 0\) alors \(\forall X\in \mathbb{R}, \quad P\left(X\right)=-P\left(-X\right)\) donc \(P\) est impair. Réciproquement si \(P\) est impair alors \(\theta\left(P\right)\). \(\operatorname{Ker} \theta = \left\{P\in \mathbb{R}\left[X\right] ~|~ P \textrm{ a tous ses termes de degré pair nuls}\right\}\). On a par ailleurs \(\theta\left(P\right)\) est pair pour tout \(P\in \mathbb{R}\left[X\right]\). Réciproquement, si \(P\) est pair, alors \(\theta\left(P\right)=P\) donc \(\mathop{\mathrm{Im}}\theta = \left\{P\in \mathbb{R}\left[X\right] ~|~ P \textrm{ a tous ses termes de degré impair nuls}\right\}\).


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