Dans l’espace \(\mathbb{R}^{3}\), déterminer l’expression analytique de la symétrie par rapport au sous-espace \(E_1\) parallèlement au sous-espace \(E_2\) où : \[E_1=\mathop{\mathrm{Vect}}\bigl( (1,0,0), (1,1,1) \bigr) \textrm{ et } E_2=\mathop{\mathrm{Vect}}(1,2,0)\]


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[ID: 1267] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 263
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59

Soit \(s\) cette symétrie et soient \(u = (1,0,0), v = (1,1,1)\) et \(w = (1,2,0)\). Soient \(e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0)\) et \(e_3 = (0,0,1)\) les vecteurs de la base naturelle de \(\mathbb{R}^{3}\).

On a \(s(u) = u\) et \(s(v) = v\). \(s(w) = -w\). On a \(e_1 = u, e_2 = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(w - u)\) et \(e_3 = v - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(w + u)\).

On en déduit \(s(e_1) = e_1 = (1,0,0), s(e_2) = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(w + u) = (-1,-1,0)\) et \(s(e_3) = v + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(w - u) = (1,2,1)\). Finalement, \(s(x,y,z) = (x-y+z,-y+2z,z)\) et l’expression analytique de \(s\) s’écrit : \(\begin{cases} x' = x+y+z \\ y' = y+2z \\ z' = z \end{cases}\).


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