Dans l’espace \(\mathbb{R}^{3}\), on considère les sous-espaces \(E_1=\mathop{\mathrm{Vect}}(1, 1, 1)\) et \(E_2=\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z = 0 \}\). Déterminer l’expression analytique du projecteur \(p\) sur \(E_2\) parallèlement à \(E_1\).


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[ID: 1265] [Date de publication: 12 février 2021 16:59] [Catégorie(s): Transformations vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 267
Par emmanuel le 12 février 2021 16:59

On vérifie facilement que \(E_1\) et \(E_2\) sont supplémentaires dans \(E=\mathbb{R}^3\). On note \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base de \(E\) formée de \(e_1=\left(1,0,0\right)\), \(e_2=\left(0,1,0\right)\) et \(e_3=\left(0,0,1\right)\). On remarque que \(E_1=Vect\left(f_1\right)\) avec \(f_1=\left(1,1,1\right)\) et que \(E_2=Vect\left(f_2,f_3\right)\) avec \(f_2=\left(1,0,-1\right)\) et \(f_3=\left(0,1,-1\right)\). En utilisant les outils du chapitre , on montre que \(f_1,f_2,f_3\) ne sont pas coplanaires et qu’ils forment donc une base \(f\) de \(E\). Soit \(v\in E\). On note \(\left(x,y,z\right)\) les coordonnées de \(v\) dans \(e\) et \(\left(\alpha,\beta,\gamma\right)\) ses coordonnées dans \(f\). De l’égalité \(v=xe_1+y e_2+z e_3=\alpha f_1 + \beta f_2+\gamma f_3\) on tire le système \(\begin{cases} x&=\beta+\alpha \\ y&=\gamma+\alpha \\ z&=-\beta-\gamma+\alpha \end{cases}\) qui est équivalent à \(\begin{cases} \beta&={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\left(2x-y-z\right)\\\gamma&={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\left(-x+2y+z\right)\\\alpha&={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3 } \left(x+y+z\right)\end{cases}\). Comme \(f_1\in E_1\) et que \(f_2,f_3\in E_2\) on doit avoir \[p\left(v\right)=\beta f_2+\gamma f_3=\dfrac{1}{3}\left(\left(2x-y-z\right) \left(1,0,-1\right) +\left(-x+2y+z\right)\left(0,1,-1\right) \right)=\dfrac{1}{3}\left(2x-y-z,-x+2y+z,-x-y\right)\] et donc \(\boxed{p\left(x,y,z\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\left(2x-y-z,-x+2y+z,-x-y\right)}\).


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