Soit un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) et un endomorphisme \(u\in L(E)\). Soient deux réels distincts \((a,b)\in \mathbb{R}^{2}\) tels que : \[(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\circ (u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits) = 0\]

  1. Montrer que \(E=\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\oplus \operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\).

  2. Déterminer la restriction de \(u\) à \(\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et à \(\operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\).


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[ID: 1263] [Date de publication: 12 février 2021 16:57] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 484
Par emmanuel le 12 février 2021 16:57
  1. Remarquons tout d’abord que \(\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et \(\operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) sont bien des sous-espaces vectoriels de \(E\) car ce sont des noyaux d’applications linéaires. Soit \(x\in\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\cap \operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\). Alors \(u\left(x\right)=ax\) et \(u\left(x\right)=bx\). Comme \(a\neq b\) on a forcément \(x=0\) et les deux sous-espaces sont en somme directe. Remarquons que \(1/(b-a) \left(X-a\right) +1/(a-b)\left(X-b\right)=1\) donc \(1/(b-a) \left(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\right) +1/(a-b)\left(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\right)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). De plus, en vertu du fait que \((u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\circ (u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits) = 0\), \(\mathop{\mathrm{Im}}1/(b-a) \left(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\right) \subset \operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et \(\mathop{\mathrm{Im}} 1/(a-b)\left(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\right) \subset \operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\). De plus, pour tout \(x\in E\) on a : \[x=\underbrace{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle b-a} \left(u(x)-ax\right)}_{\in \operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)} +\underbrace{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle a-b}\left(u(x)-bx\right)}_{\in \operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)}\] donc \(E=\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)+ \operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\). En conclusion, on a bien \(E=\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\oplus \operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\).

  2. Déterminons la restriction de \(u\) à \(\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\). Si \(x\in\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) alors \(u\left(x\right)=ax\) donc \(u_{|\operatorname{Ker}(u-a\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)}\) est une homothétie de rapport \(a\). De même \(u_{|\operatorname{Ker}(u-b\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)}\) est une homothétie de rapport \(b\).


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