Soient deux endomorphismes \((f, g) \in L(E)^2\) tels que \(E = \operatorname{Ker}f \oplus \operatorname{Ker}g = \mathop{\mathrm{Im}}f \oplus \mathop{\mathrm{Im}}g\). Montrer que \((f + g) \in \mathrm{GL}_{ }(E)\).


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[ID: 1261] [Date de publication: 12 février 2021 16:57] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 242
Par emmanuel le 12 février 2021 16:57
  1. Montrons que \(\operatorname{Ker}(f+g) = \{0_E\}\). Soit \(x \in \operatorname{Ker}(f + g)\). Comme \(E = \operatorname{Ker}(f) + \operatorname{Ker}(g)\), il existe \((x_1, x_2) \in \operatorname{Ker}(f) \times \operatorname{Ker}(g)\) tels que \(x = x_1 + x_2\). Alors \(f(x) = f(x_2)\) et \(g(x) = g(x_1)\). Comme \((f+g)(x) = 0\), on en déduit que \(f(x_2) + g(x_1) = 0\), c’est-à-dire \(z = f(x_2) = - g(x_1) \in \mathop{\mathrm{Im}}f \cap \mathop{\mathrm{Im}}g\). Mais puisque la somme \(\mathop{\mathrm{Im}}(f) + \mathop{\mathrm{Im}}(g)\) est directe, \(\mathop{\mathrm{Im}}(f) \cap \mathop{\mathrm{Im}}(g) = \{0_E\}\) et donc \(f(x_2) = g(x_1) = 0_E\) ce qui montre que \(f(x) = g(x) = 0_E\), c’est-à-dire \(x \in \operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g)\). Mais puisque la somme \(\operatorname{Ker}(f) + \operatorname{Ker}(g)\) est directe, finalement \(x = 0_E\).

  2. Montrons que \(E = \mathop{\mathrm{Im}}(f + g)\). Soit \(y \in E\). Comme \(E = \mathop{\mathrm{Im}}(f) + \mathop{\mathrm{Im}}(g)\), il existe \((x_1, x_2) \in E^2\) tel que \(y = x_1 + x_2\). Mais comme \(E = \operatorname{Ker}(f) + \operatorname{Ker}(g)\), il existe \((x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}) \in \operatorname{Ker}(f) \times \operatorname{Ker}(g) \times \operatorname{Ker}(f) \times \operatorname{Ker}(g)\) tels que \(x_1 = x_{11} + x_{12}\) et \(x_2 = x_{21} + x_{22}\). Alors \(f(x_1) = f(x_{12})\) et \(g(x_2) = g(x_{21})\). Posons \(x = x_{12} + x_{21}\). On calcule \((f+g)(x) = f(x_{12}) + g(x_{12}) + f(x_{21}) + g(x_{21}) = f(x_{12}) + g(x_{21}) = y\).


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