Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(f\in L(E)\) tel que \(f^2=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). Soit \(b\in E\) et \(\lambda\in \mathbb{R} \setminus\{1,-1\}\). Montrer que l’équation \(x+\lambda f(x)=b\) possède une unique solution.


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[ID: 1259] [Date de publication: 12 février 2021 16:57] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 749
Par emmanuel le 12 février 2021 16:57

Supposons que \(x \in E\) est solution de l’équation: \(x+\lambda f(x)=b\) et en appliquant \(f\), on a \(\lambda x + f(x)=f(b)\). En multipliant la seconde relation par \(\lambda\), et en éliminant \(f(x)\), on trouve que \(x= \dfrac{1}{1-\lambda^2}(b-f(b))\) (\(1-\lambda^2\neq 0\)). Donc si l’équation possède une solution, elle est forcément unique. Vérifions que le vecteur \(x\) précédemment trouvé est bien solution: \[\dfrac{1}{1-\lambda^2}(b-f(b)) + \lambda \left( \dfrac{1}{1-\lambda^2}(f(b)-f^2(b))\right)=\dfrac{1}{1-\lambda^2} (1-\lambda^2)b=b\]


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