Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\) nilpotent. Prouver que \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-f\) est inversible et exprimer son inverse en fonction de \(f\).


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[ID: 1255] [Date de publication: 12 février 2021 16:56] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 206
Par emmanuel le 12 février 2021 16:56

Supposons que \(f\) est nilpotent d’ordre \(n\in\mathbb{N}^*\). Alors par linéarité de \(f\) il vient que : \[\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-f\right)\circ \left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+f+f^2+\dots+f^{n-1}\right)=\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+f+f^2+\dots+f^{n-1}\right) - \left(f+f^2+\dots+f^{n-1}+f^n\right) =\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\] par télescopage et car \(f^n=0\). De même \(\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+f+f^2+\dots+f^{n-1}\right)\circ\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-f\right)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) donc \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-f\) est inversible et .


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