Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un endomorphisme \(k\in \mathrm{GL}_{ }(E)\). On considère l’application \[\varphi_k: \left\{ \begin{array}{ccl} L(E) & \longrightarrow & L(E) \\ u & \longmapsto & k\circ u \end{array} \right.\] Montrer que \(\varphi_k \in \mathrm{GL}_{ }(L(E))\) puis que l’application \[\psi : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathrm{GL}_{ }(E) & \longrightarrow & \mathrm{GL}_{ }(L(E)) \\ k & \longmapsto & \varphi_k \end{array} \right.\] est un morphisme de groupes injectif.


Barre utilisateur

[ID: 1253] [Date de publication: 12 février 2021 16:56] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 809
Par emmanuel le 12 février 2021 16:56

On vérifie que \(\varphi_k\) est linéaire. Soient \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\) et \(u,v\in L\left(E\right)\). On a \(\varphi_k\left(\alpha u + \beta v\right)=k\circ\left(\alpha u + \beta v\right)=\alpha k\circ u + \beta k\circ v=\alpha\varphi_k\left(u\right)+\beta \varphi_k\left(v\right)\) par linéarité de \(k\).

L’application \(\varphi_k\) est bien à valeurs dans \(L\left(E\right)\) car la composée de deux applications linéaires est encore linéaire.

Enfin, \(\varphi_k\) est bijective. En effet, comme \(k\) est inversible, on a \(\varphi_k \circ \varphi_{k^{-1}}= \varphi_{k^{-1}}\circ\varphi_k=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{L\left(E\right)}\).

Soient \(k,k'\in \mathrm{GL}_{ }(E)\). On a \(\psi\left(k\circ k'\right)=\varphi_{k\circ k'}=\varphi_{k}\circ \varphi_{k'}\) donc \(\psi\) est un morphisme de groupes. De plus, si \(k\in\operatorname{Ker}\psi\) alors \(\psi\left(k\right)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) donc \(\varphi_k=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) ce qui n’est possible que si \(k=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) donc \(\operatorname{Ker}\psi=\left\{\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\right\}\) et \(\psi\) est injectif.


Documents à télécharger