On considère les deux endomorphismes de \(E = \mathbb{R}^{2}\) suivants : \[u : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ (x, y) & \longmapsto & (y, 0) \end{array} \right. \textrm{ et } v : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ (x, y) & \longmapsto & (0, x) \end{array} \right.\]

  1. Calculer \(u \circ v\), \(v\circ u\), \(u^2\) et \(v^2\). Conclusion ?

  2. Montrer que l’endomorphisme \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- u)\) est inversible et déterminer son inverse.


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[ID: 1251] [Date de publication: 12 février 2021 16:56] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 554
Par emmanuel le 12 février 2021 16:56
  1. Pour \(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\), on calcule

    • \(u \circ v\left(x,y\right)=u\left(0,x\right)=\left(x,0\right)\).

    • \(v\circ u\left(x,y\right)=v\left(y,0\right)=\left(0,y\right)\).

    • \(u^2\left(x,y\right)=u\left(y,0\right)=\left(0,0\right)\).

    • \(v^2\left(x,y\right)=v\left(0,x\right)=\left(0,0\right)\).

    donc \(u\circ v\) est la projection sur les abscisses, \(v\circ u\) est la projection sur les ordonnées et \(u^2=v^2=0\).

  2. On utilise l’exercice . Comme \(u^2=0\), \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- u\) est inversible et d’inverse \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+ u\).


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