Soit \(E\) un \(\mathbb{K}-\)espace vectoriel et \(u \in L(E)\). On suppose qu’il existe des scalaires \(a_0, \dots ,a_n\) tels que \(a_0 \mathop{\mathrm{id}}\nolimits+ a_1u + \dots + a_n u^n= 0\), avec \(a_0 \neq 0\) et \(a_n \neq 0\). Montrer que \(u\) est un automorphisme de \(E\).


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[ID: 1249] [Date de publication: 12 février 2021 16:56] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 680
Par emmanuel le 12 février 2021 16:56

Comme \(a_0 \mathop{\mathrm{id}}\nolimits+ a_1u + \dots + a_n u^n= 0\), on a \(-\left(a_n u^n +\dots+a_1 u\right)=a_0\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et \(u\left(-{\scriptstyle a_n\over\scriptstyle a_0}u^{n-1} -\dots- {\scriptstyle a_1\over\scriptstyle a_0}\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\right)=\left(-{\scriptstyle a_n\over\scriptstyle a_0}u^{n-1} -\dots- {\scriptstyle a_1\over\scriptstyle a_0}\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\right) u = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) donc \(u\) est inversible et \(\boxed{u^{-1}=- \left({\scriptstyle a_n\over\scriptstyle a_0}u^{n-1} +\dots+ {\scriptstyle a_1\over\scriptstyle a_0}\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\right)}.\)


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