Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f\in L(E)\) vérifiant \((f-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)o(f+2\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)=0\). Montrer que \(f\) est inversible.


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[ID: 1247] [Date de publication: 12 février 2021 16:56] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 118
Par emmanuel le 12 février 2021 16:56

Comme \((f-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)o(f+2\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)=0\) et que \(f\) est linéaire, il vient que \(f^2+f-2\mathop{\mathrm{id}}\nolimits=0\) ce qui s’écrit aussi \(f\circ\left({\scriptstyle\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+f\over\scriptstyle 2}\right)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) ou encore \(\left({\scriptstyle\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+f\over\scriptstyle 2}\right)\circ f=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). Donc \(f\) est inversible d’inverse \(\boxed{f^{-1}={\scriptstyle\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+f\over\scriptstyle 2}}\).


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