Soient un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux endomorphismes \(u,v \in L(E)\).

  1. Développer \((u+v)^2\) .

  2. Développer \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)\circ(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u)\) .

  3. Si \(u^2=0\), montrer que \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)\) est bijective.


Barre utilisateur

[ID: 1245] [Date de publication: 12 février 2021 16:56] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 393
Par emmanuel le 12 février 2021 16:56
  1. On utilise la linéarité de \(u\) et \(v\) et on trouve : \((u+v)^2=u^2+u\circ v + v\circ u + v^2\). Attention, en général, \(u\circ v \neq v\circ u\).

  2. De même \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)\circ(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u^2\)

  3. Si \(u^2=0\), alors \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)\circ(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u)=(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u)\circ(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)\) est bijective d’inverse \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u\).


Documents à télécharger