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[ID: 1245] [Date de publication: 12 février 2021 16:56] [Catégorie(s): Endomorphismes inversibles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 393
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 16:56

1. On utilise la linéarité de \(u\) et \(v\) et on trouve : \((u+v)^2=u^2+u\circ v + v\circ u + v^2\). Attention, en général, \(u\circ v \neq v\circ u\).

2. De même \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)\circ(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u^2\)

3. Si \(u^2=0\), alors \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)\circ(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u)=(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u)\circ(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u)\) est bijective d’inverse \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u\).