Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f,g \in L(E)\). On suppose que \[fogof=f , \quad\textrm{ et} \quad gofog=g\] Montrer que \[E= \operatorname{Ker}f \oplus \mathop{\mathrm{Im}}g\]


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[ID: 1241] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 7
Par emmanuel le 12 février 2021 11:06

Soit \(x\in\operatorname{Ker}f\cap \mathop{\mathrm{Im}}g\). Alors \(f\left(x\right)=0\) et il existe \(x_0\in E\) tel que \(x=g\left(x_0\right)\). Donc \(g\circ f\circ g\left(x_0\right)=x\) mais on a aussi \(g\circ f\circ g\left(x_0\right)=g\circ f\left(x\right)=0\) donc \(x=0\) et \(\operatorname{Ker}f\), \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) sont en somme directe.

Soit \(x\in E\). On peut écrire \(x=x-g\circ f\left(x\right)+ g\circ f\left(x\right)\) et comme \(f\left(x-g\circ f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)-f\circ g\circ f\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)=0\), il vient que \(x-g\circ f\left(x\right)\in \operatorname{Ker}f\). Par ailleurs, il est clair que \(g\circ f\left(x\right)\in \mathop{\rm Im}g\) donc \(E=\mathop{\mathrm{Im}}f + \operatorname{Ker}f\).

En conclusion, \(\operatorname{Ker}f\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) sont bien supplémentaires dans \(E\).


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