Barre utilisateur

[ID: 1241] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 7
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:06

Soit \(x\in\operatorname{Ker}f\cap \mathop{\mathrm{Im}}g\). Alors \(f\left(x\right)=0\) et il existe \(x_0\in E\) tel que \(x=g\left(x_0\right)\). Donc \(g\circ f\circ g\left(x_0\right)=x\) mais on a aussi \(g\circ f\circ g\left(x_0\right)=g\circ f\left(x\right)=0\) donc \(x=0\) et \(\operatorname{Ker}f\), \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) sont en somme directe.

Soit \(x\in E\). On peut écrire \(x=x-g\circ f\left(x\right)+ g\circ f\left(x\right)\) et comme \(f\left(x-g\circ f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)-f\circ g\circ f\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)=0\), il vient que \(x-g\circ f\left(x\right)\in \operatorname{Ker}f\). Par ailleurs, il est clair que \(g\circ f\left(x\right)\in \mathop{\rm Im}g\) donc \(E=\mathop{\mathrm{Im}}f + \operatorname{Ker}f\).

En conclusion, \(\operatorname{Ker}f\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) sont bien supplémentaires dans \(E\).