Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f\in L(E)\). On pose \[N = \cup_{i \in \mathbb N} \operatorname{Ker}f^{i}\]

  1. Montrer que \(N=\operatorname{Ker}f \Rightarrow \operatorname{Ker}f + \mathop{\mathrm{Im}}f\) est directe.

  2. Etudier la réciproque.


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[ID: 1239] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 50
Par emmanuel le 12 février 2021 11:06
  1. Supposons que \(N=\operatorname{Ker}f\). Alors pour tout \(i\in\mathbb{N}^*\), \(\operatorname{Ker}f^i\subset \operatorname{Ker}f\). Comme par ailleurs, on a toujours \(\operatorname{Ker}f\subset \operatorname{Ker}f^i\), il vient que pour tout \(i\in\mathbb{N}^*\), \(\operatorname{Ker}f^i= \operatorname{Ker}f\). Soit \(x\in \operatorname{Ker}f\cap \mathop{\mathrm{Im}}f\). Alors il existe \(x_0\in E\) tel que \(x=f\left(x_0\right)\) et par ailleurs \(f\left(x\right)=0\). Comme \(f\left(f\left(x_0\right)\right)=0\) et que \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f^2\), il vient que \(x_0\in\operatorname{Ker}f\) et donc \(x=0\). La somme est bien directe.

  2. Supposons que \(\operatorname{Ker}f + \mathop{\mathrm{Im}}f\) soit directe. Remarquons qu’on a toujours \(\operatorname{Ker}f \subset \operatorname{Ker} f^{2}\). Soit \(x\in\operatorname{Ker}f^2\). Alors \(f\left(f\left(x\right)\right)=0\). Mais \(f\left(x\right)\in\mathop{\mathrm{Im}}f\cap \operatorname{Ker}f=\left\{0\right\}\) donc \(f\left(x\right)=0\). Alors \(x\in \operatorname{Ker}f\). On a montré que \(\operatorname{Ker} f=\operatorname{Ker}f^2\). On en déduit que \(\operatorname{Ker}f^2=\operatorname{Ker}f^3\), ... et donc que \(N=\operatorname{Ker}f\).


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