Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, \(p\in\mathbb{N}^*\) et \(f\in L(E)\).

  1. Montrer que \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker} f^2 \Rightarrow \operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f^n\) pour \(n\geqslant 2\).

  2. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}f^p= \mathop{\mathrm{Im}}f^{p+1} \Rightarrow \mathop{\mathrm{Im}}f^n = \mathop{\mathrm{Im}}f^p\) pour \(n \geqslant p\).


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[ID: 1237] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 827
Par emmanuel le 12 février 2021 11:06
  1. On effectue un raisonnement par récurrence. La propriété est, par hypothèse, vraie au rang \(2\). Supposons qu’elle est vraie au rang \(n\) pour \(n\geqslant 2\) et prouvons là au rang \(n+1\). On sait déjà que \(\operatorname{Ker}f \subset \operatorname{Ker} f^{n+1}\). Si \(x\in \operatorname{Ker}f^{n+1}\) alors \(f^n\left(f \left(x\right)\right)=0\) et donc \(f\left(x\right)\in \operatorname{Ker}f^n= \operatorname{Ker}f\). Donc \(f^2\left(x\right)=0\) et \(x\in\operatorname{Ker}f^2=\operatorname{Ker}f\). La propriété est alors aussi vraie au rang \(n+1\). On termine en appliquant le théorème de récurrence.

  2. Montrons par une récurrence sur \(n\geqslant p+1\) que \(\mathop{\mathrm{Im}}f^n=\mathop{\mathrm{Im}}f^p\). La propriété est vraie par hypothèse au rang \(p+1\). Soit \(n\geqslant p+1\). Supposons que \(\mathop{\mathrm{Im}}f^n = \mathop{\mathrm{Im}}f^p\) et montrons que \(\mathop{\mathrm{Im}}f^{n+1} = \mathop{\mathrm{Im}}f^p\). On a toujours \(\mathop{\mathrm{Im}}f^{n+1} \subset \mathop{\mathrm{Im}}f^p\). Si \(y\in\mathop{\mathrm{Im}}f^{p}\) alors il existe \(x\in E\) tel que \(y=f^{p}\left(x\right)\). Comme \(\mathop{\mathrm{Im}}f^p = \mathop{\mathrm{Im}}f^{p+1}\), il existe \(x'\in E\) tel que \(y=f^{p}\left(x\right)=f^{p+1}\left(x'\right)\). Mais d’après l’hypothèse de récurrence , il existe \(x''\in E\) tel que \(f^n\left(x''\right)=f^{p}\left(x''\right)\). Donc \(y=f\left(f^n\left(x\right)\right)=f^{n+1}\left(x''\right)\) et donc \(\mathop{\mathrm{Im}}f^p \subset \mathop{\mathrm{Im}}f^{n+1}\). On termine en appliquant le théorème de récurrence.


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