Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f\in L(E)\). Soit \(p\in\mathbb{N}^*\).

  1. Montrer que \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker} f^p \Rightarrow \operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f^n\) pour \(n\in\llbracket 1,p\rrbracket\).

  2. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^p \Rightarrow \mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^n\) pour \(n\in\llbracket 1,p\rrbracket\).


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[ID: 1235] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 655
Par emmanuel le 12 février 2021 11:06
  1. On vérifie facilement que \(\operatorname{Ker}f \subset \operatorname{Ker}f^2 \subset \dots \subset \operatorname{Ker}f^p\). Donc si \(\operatorname{Ker}f=\operatorname{Ker}f^p\) les inclusions précédentes deviennent des égalités.

  2. De même, il est clair que \(\mathop{\mathrm{Im}}f^p \subset \mathop{\mathrm{Im}}f^{p-1}\subset \dots \subset \mathop{\mathrm{Im}}f^2 \subset \mathop{\mathrm{Im}}f\) donc si \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^p\), ces inclusions deviennent là aussi des égalités.


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